Formule du binôme de Newton : démonstration, coefficients et exemples corrigés

La formule du binôme de Newton donne le développement de (a + b)^n quand n est un entier naturel : c’est l’outil standard pour développer vite et juste, calculer un coefficient précis et comprendre le rôle des coefficients binomiaux. Vous trouverez ici l’énoncé propre, deux démonstrations canoniques, les propriétés utiles des coefficients et des exemples corrigés pas à pas.

Énoncé clair de la formule du binôme de Newton

Pour tout entier n ≥ 0 et pour tout a, b réels ou complexes :

(a + b)^n = ∑_k=0ⁿ C(n, k) · a^n−k b^k, où C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) est le coefficient binomial.

Lecture pratique : le terme d’indice k est C(n, k) fois a puissance n−k fois b puissance k. On lit ainsi dans chaque développement la puissance de a qui décroît et celle de b qui croît, avec des coefficients gouvernés par C(n, k).

Deux démonstrations utiles et complémentaires

Démonstration combinatoire (comptage)

Développer (a + b)^n revient à multiplier n facteurs (a + b). Chaque terme du développement est un produit de n choix, chacun étant a ou b. Un monôme a^n−kb^k apparaît lorsque l’on choisit k fois b et n−k fois a. Le nombre de façons de sélectionner les positions des k lettres b parmi n est exactement C(n, k). On obtient donc la somme annoncée.

Démonstration par récurrence (triangle de Pascal)

L’égalité est vraie pour n = 0. Supposons-la vraie au rang n, et écrivons :

(a + b)ⁿ⁺¹ = (a + b)(a + b)ⁿ = (a + b) ∑ C(n, k) a^n−kb^k.

Après distribution et réindexation, les coefficients devant a^n+1−kb^k se combinent en C(n, k) + C(n, k−1) = C(n+1, k) (identité du triangle de Pascal). L’égalité est donc vraie au rang n + 1, d’où la formule pour tout n.

Coefficients binomiaux : propriétés à connaître

Définition : C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) pour 0 ≤ k ≤ n, et C(n, k) = 0 sinon. Symétrie : C(n, k) = C(n, n−k). Extrémités : C(n, 0) = C(n, n) = 1. Relation de Pascal : C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k−1).

Sommes remarquables : Somme des coefficients : ∑_k=0ⁿ C(n, k) = 2ⁿ (prendre a = b = 1). Somme alternée : ∑_k=0ⁿ (−1)^k C(n, k) = 0 pour n ≥ 1 (prendre a = 1, b = −1). Ces identités servent à vérifier rapidement un résultat ou à simplifier des expressions.

Lire et utiliser le triangle de Pascal

Les coefficients C(n, k) s’organisent en triangle dont chaque entrée est la somme des deux entrées « au-dessus ». Ligne n : 1, n, C(n, 2), …, n, 1. Cela donne les coefficients du développement de (a + b)^n sans calculs de factorielles. Pour n = 4, la ligne est 1, 4, 6, 4, 1.

Exemples corrigés pas à pas

1) Développer (x + 2)⁴

On lit la ligne 4 du triangle : 1, 4, 6, 4, 1. Chaque terme inclut 2^k. Ainsi :

(x + 2)⁴ = 1·x⁴ + 4·x³·2 + 6·x²·2² + 4·x·2³ + 1·2⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.

2) Coefficient de x⁷ dans (3x − 2)⁹

Le terme général est C(9, k)(3x)^9−k(−2)^k. Pour obtenir x⁷, il faut 9 − k = 7, donc k = 2. Le coefficient vaut :

C(9, 2)·3⁷·(−2)² = 36 · 2187 · 4 = 314 928. Le monôme recherché est 314 928·x⁷.

3) Terme indépendant de x dans (2x + 1/x)⁶

On cherche k tel que la puissance de x soit nulle : (2x)^6−k(1/x)^k donne x^6−k−k = x^6−2k. Il faut 6 − 2k = 0, donc k = 3. Le terme vaut :

C(6, 3)·2⁶⁻³ = 20 · 8 = 160. Le terme constant du développement est 160.

4) Identités de contrôle rapide

. Somme des coefficients de (x + 1)ⁿ : mettre x = 1 donne 2ⁿ. Pour (x − 1)ⁿ, mettre x = 1 donne 0 si n ≥ 1. Ces vérifications sanctionnent un développement : si la somme de vos coefficients de (x + 1)ⁿ n’est pas 2ⁿ, il y a une erreur.

Astuces, erreurs fréquentes et bonnes pratiques

Indexer correctement : le terme général peut s’écrire C(n, k) a^n−kb^k (k croît) ou C(n, k) a^kb^n−k (k décroît pour a). Choisissez une convention et tenez-vous-y pour éviter les confusions d’exposants.

Gérer les signes : si b est négatif, le signe du terme alterne selon k. Exemple : (x − 2)⁴ a des signes +, −, +, −, +.

Pouvoirs composés : si a et b contiennent déjà des puissances (par exemple (2x² − 3x)⁵), élevez d’abord a et b aux puissances, puis regroupez les x pour identifier le degré souhaité.

Triangle de Pascal : pour n petit (jusqu’à 6 ou 7), reconstituez la ligne à la volée en additionnant deux à deux les coefficients de la ligne précédente ; c’est plus fiable que des factorielles faites de tête.

Applications rapides en probabilité et en analyse

Dénombrement : C(n, k) est le nombre de sous-ensembles de taille k d’un ensemble de n éléments. Cette lecture combinatoire justifie naturellement le coefficient devant a^n−kb^k dans le binôme.

Valeurs approchées : pour de petits n, la formule permet des développements limités élémentaires. Exemple : (1 + h)ⁿ = 1 + nh + C(n, 2)h² + …, utile pour estimer une variation relative lorsque h est petit.

Aller plus loin : binôme généralisé (idée)

Au-delà des entiers n, on peut définir des coefficients binomiaux généralisés C(r, k) pour des réels ou complexes r, et écrire une série (1 + x)^r = ∑ C(r, k) x^k avec un rayon de convergence |x| < 1. Cette extension n’est pas requise pour l’usage au lycée, mais elle éclaire l’omniprésence des « coefficients binomiaux » en analyse et en séries.

Fiche mémo

• Formule : (a + b)ⁿ = ∑ C(n, k) a^n−kb^k.
• Terme d’indice k : C(n, k) a^n−kb^k ; choisir k pour contrôler la puissance cherchée.
• Outils : triangle de Pascal, C(n, k) = n!/(k!(n−k)!).
• Contrôles : somme des coefficients = 2ⁿ ; somme alternée = 0 si n ≥ 1.

Conseil final : pour les exercices chronométrés, commencez par repérer l’indice k qui produit l’exposant désiré, écrivez le coefficient avec C(n, k) et les puissances d’un coup, puis vérifiez en 5 secondes avec la symétrie C(n, k) = C(n, n−k) et la somme des coefficients lorsque c’est pertinent.