Dans notre quotidien, il est parfois nécessaire de calculer l’aire d’une surface. La formule des aires vient ainsi en aide pour répondre à ce besoin. Cet article vous présente les différentes formules permettant de déterminer l’aire de diverses figures géométriques.
Notions élémentaires : périmètre et aire
Avant de plonger dans le vif du sujet, il convient de rappeler deux notions essentielles :
- Périmètre : Il s’agit de la mesure linéaire totale du contour d’une figure géométrique. Cette distance est exprimée en unités de longueur (cm, m, …).
- Aire : L’aire désigne la mesure de la taille d’une surface limitée par une ou plusieurs frontières. Elle est mesurée en unités de surface (cm², m², …).
Formule des aires des principales figures géométriques
Ce tableau résumé met à votre disposition la formule des aires des principales figures géométriques.
Rectangle
L’aire A d’un rectangle est donnée par la formule suivante :
A = Longueur × Largeur
Carré
L’aire A d’un carré est égale au carré de la longueur de son côté :
A = Côté²
Triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, l’aire A est égale à la moitié du produit des longueurs des deux côtés adjacents à l’angle droit :
A = (Côté₁ × Côté₂) / 2
Triangle quelconque
Pour calculer l’aire A d’un triangle quelconque, il faut connaître la base et la hauteur relatives :
A = (Base × Hauteur) / 2
Parallélogramme
L’aire A d’un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur :
A = Base × Hauteur
Cercle
On obtient l’aire A d’un cercle en multipliant le carré de son rayon R par le nombre pi (π) :
A = π × R²
Où π (pi) est une constante dont la valeur approximative est 3.14.
Secteur circulaire
Un secteur circulaire représente une portion de disque délimitée par deux rayons et un arc de cercle. L’aire A d’un secteur circulaire se calcule en utilisant la formule suivante :
A = (Rayon² × Angle) / 2
Formules avancées pour le calcul des aires
Trapèze
En géométrie, un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés parallèles appelés bases. L’aire A d’un trapèze s’obtient en multipliant la moyenne de ses bases (Base₁ et Base₂) par sa hauteur :
A = ((Base₁ + Base₂) × Hauteur) / 2
Losange
Dans un losange, tous les côtés sont égaux, mais ses angles sont quelconques. Pour déterminer l’aire A d’un losange, on utilise les longueurs des diagonales (Diagonale₁ et Diagonale₂) :
A = (Diagonale₁ × Diagonale₂) / 2
Cylindre
Le cylindre est une forme tridimensionnelle dont la base est un cercle et dont la hauteur est perpendiculaire à ce cercle. Pour trouver l’aire latérale A du cylindre, il faut multiplier la circonférence de la base (Périmètre) par la hauteur :
A = Périmètre × Hauteur
Pour obtenir l’aire totale (y compris les bases), ajoutez les aires des deux bases.
Pyramide
Une pyramide est formée d’une base polygonale et de triangles ayant un sommet commun appelé apex. La formule de l’aire A de la surface latérale dépend du nombre de faces triangulaires :
A = (Périmètre × Hauteur) / 2
Pour trouver l’aire totale de la pyramide, il faut ajouter l’aire de la base.
Calcul d’aires sur des coordonnées cartésiennes
Il est également possible de calculer l’aire d’une figure géométrique en utilisant les coordonnées de ses sommets dans un repère cartésien. La méthode la plus courante pour ce faire est la formule analytique du demi-périmètre.
Cette méthode consiste à diviser la figure en triangles, à calculer l’aire absolue de chaque triangle et à additionner ces aires pour obtenir l’aire totale de la figure.
La formule générale pour calculer l’aire A d’un triangle ayant pour sommets les points A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) et C(x₃,y₃) est la suivante :
A = |(x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)) / 2|
En appliquant cette formule aux différents triangles, on obtient l’aire totale de la figure étudiée.
Les formules présentées ici ne couvrent pas toutes les figures géométriques possibles, mais elles permettent de résoudre une grande majorité des problèmes rencontrés dans la vie courante et dans le domaine professionnel.
