Somme d’une suite géométrique : formules selon le premier terme et exemples corrigés

La somme d’une suite géométrique se calcule avec une formule simple dès que l’on connaît le premier terme et la raison. Voici les expressions à utiliser selon la convention d’indexation choisie, puis des exemples entièrement corrigés pour s’entraîner et éviter les pièges les plus courants.

Somme d’une suite géométrique finie : la formule essentielle

On appelle suite géométrique toute suite définie par u_n+1 = q × u_n où q est la raison, non nulle.

Formule avec premier terme u0 (indexation à partir de 0). Pour n ≥ 0 :

S_n = u0 + u1 + … + u_n = u0 × (1 − qⁿ⁺¹) ⁄ (1 − q), si q ≠ 1.

Si q = 1, les termes sont constants et S_n = (n + 1) × u0.

Formule avec premier terme a = u1 (indexation à partir de 1). Pour n ≥ 1 :

T_n = a + aq + … + aqⁿ⁻¹ = a × (1 − qⁿ) ⁄ (1 − q), si q ≠ 1.

Si q = 1, alors T_n = n × a.

Bien choisir sa convention d’indexation

Deux usages coexistent en France selon les cours et manuels. Pour éviter les erreurs, identifiez toujours :

• le rang de départ (0 ou 1) ;
• le nombre de termes effectivement additionnés.

Passer de l’une à l’autre est immédiat : si a = u₁ et u_n = u₀ × qⁿ, alors additionner n termes à partir de a revient à additionner n + 1 termes à partir de u₀ avec u₀ = a ⁄ q, quand q ≠ 0.

Somme partielle entre deux rangs

On a souvent besoin de la somme de u_p à u_n avec p ≤ n.

Somme de p à n : u_p + … + u_n = u_p × (1 − q^n−p+1) ⁄ (1 − q), si q ≠ 1. Si q = 1, la somme vaut (n − p + 1) × u_p.

Cas particuliers et erreurs fréquentes

Raison égale à 1. La formule avec le dénominateur 1 − q n’est pas applicable. Il faut revenir à une somme de termes constants.

Raison négative. La formule reste valable ; la somme alterne en signe. Vérifiez le nombre de termes ajouté.

Puissance finale. L’exposant est toujours “nombre de termes” pour l’indexation choisie : n pour une somme de n termes à partir de u1, et n + 1 pour une somme de 0 à n.

Démonstration éclair en deux lignes

Pour T_n = a(1 + q + … + qⁿ⁻¹), on multiplie par q : qT_n = a(q + … + qⁿ). En soustrayant, T_n − qT_n = a(1 − qⁿ). Donc T_n = a(1 − qⁿ) ⁄ (1 − q) si q ≠ 1.

Exemples corrigés pas à pas

Exemple 1. Premier terme donné, raison positive

On considère la suite géométrique (u_n) définie par u₀ = 3 et q = 2. Calculer S₄ = u₀ + … + u₄.

On utilise la formule avec u0 : S₄ = 3 × (1 − 2⁵) ⁄ (1 − 2) = 3 × (1 − 32) ⁄ (−1) = 3 × 31 = 93.

Vérification rapide en listant : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93.

Exemple 2. Indexation à partir de 1

On a a = 5 et q = 0,4. Calculer T₆ = 5 + 5×0,4 + … + 5×0,4⁵.

T₆ = 5 × (1 − 0,4⁶) ⁄ (1 − 0,4) = 5 × (1 − 0,004096) ⁄ 0,6 = 5 × 0,995904 ⁄ 0,6 ≈ 5 × 1,65984 = 8,2992.

Interprétation : comme la raison est inférieure à 1, la somme reste proche de la limite a ⁄ (1 − q) = 5 ⁄ 0,6 ≈ 8,333…

Exemple 3. Somme partielle entre deux rangs

Suite géométrique définie par u₀ = 10 et q = 1,5. Calculer la somme de u₃ à u₇.

On commence par u₃ = 10 × 1,5³ = 33,75. Nombre de termes : 7 − 3 + 1 = 5.

Somme = u₃ × (1 − q⁵) ⁄ (1 − q) = 33,75 × (1 − 1,5⁵) ⁄ (1 − 1,5).

On calcule 1,5⁵ = 7,59375. Numérateur : 1 − 7,59375 = −6,59375. Dénominateur : −0,5. Somme = 33,75 × (−6,59375) ⁄ (−0,5) = 33,75 × 13,1875 = 445,59 environ.

Exemple 4. Raison négative

Suite géométrique avec a = 4 et q = −0,5. Calculer T₈.

T₈ = 4 × (1 − (−0,5)⁸) ⁄ (1 − (−0,5)) = 4 × (1 − 0,00390625) ⁄ 1,5 = 4 × 0,99609375 ⁄ 1,5 ≈ 2,65625.

Remarque : les termes alternent en signe mais la somme reste positive, car |q| < 1.

Exemple 5. Cas q = 1

Suite géométrique constante u_n = 7. Somme des 20 premiers termes à partir de u1 : T₂₀ = 20 × 7 = 140.

Applications rapides et repères pratiques

Modélisation d’évolutions à taux fixe. La somme géométrique intervient pour cumuler des quantités multipliées à chaque étape : remises successives, échos sonores atténués, pertes ou gains répétés. Dans un tableur, on peut générer la colonne des termes puis utiliser la formule fermée pour vérifier le total.

Indice pour les contrôles. Repérez l’indexation, isolez le nombre de termes, puis appliquez la bonne version de la formule. En cas de doute, testez avec 2 ou 3 termes listés à la main pour valider le sens de l’exposant.

FAQ express

Comment retrouver la raison et le premier terme à partir de deux termes connus ?

Si vous connaissez u_p et u_n avec p ≠ n, alors q = (u_n ⁄ u_p)^1/(n−p) et u_p = u₀ × q^p permet de remonter à u₀ puis à u₁ = u₀ × q.

Peut-on sommer une suite géométrique à l’infini ?

La formule ci-dessus concerne une somme finie. Si |q| < 1, la somme partielle tend vers une limite a ⁄ (1 − q) quand le nombre de termes croît, un repère utile pour estimer l’ordre de grandeur d’une somme longue.

Et si la raison est nulle ?

Par définition, la raison d’une suite géométrique n’est pas nulle. Si l’on force q = 0, la suite devient 0 à partir du second terme, et les formules ci-dessus n’ont plus d’intérêt pratique.

En résumé : identifiez l’indexation, posez le premier terme et la raison, puis appliquez la formule (1 − qⁿ) ⁄ (1 − q) adaptée à votre point de départ. Un dernier contrôle numérique sur quelques rangs évite la quasi-totalité des erreurs.