Loi des mailles : formule, convention de signe et exercices corrigés

La loi des mailles, ou loi des tensions de Kirchhoff, énonce que la somme algébrique des tensions le long d’une boucle fermée d’un circuit est nulle. Autrement dit, la somme des « hausses » de tension est égale à la somme des « chutes » de tension. Cette règle simple permet de résoudre pas à pas la plupart des circuits résistifs.

Loi des mailles : définition et formule

Dans toute maille orientée d’un circuit électrique, on écrit la relation suivante :

Somme des tensions orientées dans le sens de parcours = 0, soit Σ U_k = 0.

On peut aussi séparer hausses et chutes de tension :

Σ hausses de tension = Σ chutes de tension.

Cette loi découle de la conservation de l’énergie électrique au sein d’un circuit : l’énergie fournie par les générateurs est exactement dissipée ou stockée par les récepteurs lorsqu’on boucle le tour d’une maille.

Convention de signe : comment ne jamais se tromper

La clé est d’adopter une convention et de s’y tenir du début à la fin du calcul. Deux approches pratiques coexistent, équivalentes si elles sont appliquées avec cohérence.

Convention « sens de parcours »

On choisit un sens de parcours de la maille (par exemple, horaire). Pour chaque dipôle rencontré :

• Générateur idéal de tension E : si l’on traverse la borne « − » puis « + », on compte +E ; dans l’autre sens, −E.
• Résistance R parcourue dans le sens du courant I : la tension mesurée du côté amont vers aval vaut U = R I et correspond à une chute. Si l’on parcourt la résistance dans le même sens que le courant, on écrit −R I ; en sens contraire, +R I.
• Dipôles réactifs (L, C) en régime sinusoïdal : même principe, avec l’impédance complexe Z et la tension U = Z I, la règle de signe reste identique.

On additionne toutes les contributions et on impose Σ U_k = 0.

Convention « flèches de référence »

On assigne à l’avance une flèche de tension à chaque dipôle et une flèche de courant. La loi des mailles s’écrit alors Σ U_k = 0, où chaque U_k est positive si l’on traverse le dipôle dans le sens de sa flèche de tension, négative sinon. Les relations constitutives (par exemple U = R I) relient ensuite les signes retenus pour U et I. Cette méthode est idéale pour les systèmes à plusieurs mailles.

Astuce de pro : tracez systématiquement des flèches propres au schéma avant d’écrire la moindre équation. Une fois la convention fixée, n’en changez plus, même si un courant calculé ressort avec un signe négatif : cela indiquera simplement qu’il circule à l’opposé de la flèche choisie.

Méthode pas à pas pour appliquer la loi des mailles

1. Nettoyez le schéma : redessinez si nécessaire pour faire apparaître clairement les mailles indépendantes.
2. Choisissez un sens de parcours pour chaque maille (horaire ou antihoraire, au choix).
3. Affectez des flèches de courant et de tension sur chaque dipôle.
4. Écrivez la loi des nœuds si besoin pour éliminer des courants superflus et ne garder que les inconnues utiles.
5. Écrivez une équation de maille par maille indépendante avec la convention de signe retenue.
6. Remplacez les tensions par les lois constitutives (Ohm, impédances) et résolvez le système.

Exercices corrigés

Exercice 1. Circuit série simple

Données : une source idéale de tension E = 12 V alimente en série R1 = 100 Ω et R2 = 200 Ω. On demande le courant I et la tension aux bornes de chaque résistance.

Étapes :

1. Choisir un sens de parcours horaire et une flèche de courant I dans ce sens.
2. Loi des mailles : en partant du pôle négatif de la source et en tournant dans le sens choisi, on rencontre +E, puis une chute −R1 I, puis −R2 I. Équation : E − R1 I − R2 I = 0.
3. Calcul : I = E/(R1 + R2) = 12/(100 + 200) = 0,04 A.
4. Tensions : U1 = R1 I = 4 V, U2 = R2 I = 8 V. Vérification : U1 + U2 = 12 V, cohérent avec la loi des mailles.

Résultat : I = 40 mA, U1 = 4 V, U2 = 8 V.

Exercice 2. Attention aux signes (source opposée au courant choisi)

Données : même montage mais on oriente arbitrairement la flèche de courant I de droite à gauche, donc contraire au sens « habituel ». La source E = 9 V a sa borne « + » à gauche.

Étapes :

1. Parcours horaire en démarrant à gauche. On traverse d’abord la source de « + » vers « − » donc contribution −E.
2. On traverse ensuite R1 puis R2 à l’opposé de la flèche de courant choisie. Avec U = R I, cela donne des contributions +R1 I puis +R2 I dans l’équation de maille.
3. Équation : −E + R1 I + R2 I = 0 donc I = E/(R1 + R2) comme précédemment, mais si le calcul fournit un signe négatif, cela signifierait que le courant réel circule à l’opposé de la flèche posée.

Résultat numérique avec R1 = 150 Ω et R2 = 150 Ω : I = 9/300 = 0,03 A et, par conventions de flèches, les tensions orientées selon la maille sont +4,5 V et +4,5 V, tandis que la contribution de la source est −9 V. La somme vaut bien zéro.

Exercice 3. Deux mailles couplées par une branche commune

Données : deux mailles partagent une résistance R3. Maille 1 : source E1 = 10 V en série avec R1 = 100 Ω et la branche commune R3 = 200 Ω. Maille 2 : source E2 = 5 V en série avec R2 = 50 Ω et la même R3. On cherche les courants de maille I1 et I2 orientés tous deux dans le sens horaire.

Modélisation : dans la branche commune, le courant réel est la différence des courants de maille selon les sens de parcours. Ici, la tension dans R3 vaut U3 = R3 (I1 − I2) si l’on la compte selon le sens de I1.

Équations des mailles (convention « chutes = hausses ») :

• Maille 1 : R1 I1 + R3 (I1 − I2) = E1, soit (R1 + R3) I1 − R3 I2 = E1.
• Maille 2 : R2 I2 + R3 (I2 − I1) = E2, soit −R3 I1 + (R2 + R3) I2 = E2.

Calcul numérique :

Écrivons le système avec les valeurs :

• (100 + 200) I1 − 200 I2 = 10 → 300 I1 − 200 I2 = 10
• −200 I1 + (50 + 200) I2 = 5 → −200 I1 + 250 I2 = 5

Multiplication de la seconde équation par 3 pour éliminer I1 :

−600 I1 + 750 I2 = 15. Addition avec la première fois 2 : (600 I1 − 400 I2 = 20) + (−600 I1 + 750 I2 = 15) donne 350 I2 = 35, donc I2 = 0,10 A. En remplaçant dans 300 I1 − 200 I2 = 10 : 300 I1 − 20 = 10, d’où I1 = 0,10 A. Ici, les deux courants de maille sortent égaux.

Vérification dans la branche commune : I1 − I2 = 0, la tension aux bornes de R3 est nulle ; les sources et résistances propres à chaque maille s’équilibrent numériquement avec nos valeurs, ce qui est cohérent avec les équations obtenues.

Exercice 4. Régime sinusoïdal et impédances

Données : maille unique en régime AC avec Ê = 10∠0° V à la fréquence f, une résistance R = 100 Ω et une inductance L = 0,159 H à f = 1 Hz (donc X_L = 2π f L ≈ 1 Ω). On cherche le courant complexe I.

Équation de maille : Ê = (R + j X_L) I. Avec les valeurs : 10∠0° = (100 + j 1) I, donc I ≈ 0,0995∠−0,57° A. La loi des mailles reste valide avec les impédances complexes.

Erreurs fréquentes et bonnes pratiques

Changer de signe en cours de route : c’est la source n° 1 d’erreurs. Fixez flèches et sens de parcours avant d’écrire et n’y touchez plus.

Oublier une maille indépendante : pour un graphe planaire, le nombre de mailles indépendantes est M = A − N + 1 (A : branches, N : nœuds). Cela évite les équations redondantes.

Négliger le cadre de validité : la loi des mailles s’applique en électrocinétique lumped, lorsque les effets de champ variables dans le temps sont négligeables sur le pourtour de la maille. En présence de couplages magnétiques localisés (transformateurs) ou de variations rapides dans de grandes boucles, introduisez les termes induits ou travaillez au niveau des impédances équivalentes à la fréquence considérée.

Entraînez-vous efficacement

Pour progresser vite, automatisez la séquence suivante : flèches, sens de parcours, équations, remplacement par U = R I ou U = Z I, résolution. Un carnet de calcul tenu proprement, avec un schéma annoté à chaque exercice, réduit fortement les erreurs de signe et accélère la vérification finale.

En pratique, la loi des mailles permet de dimensionner des capteurs, valider des chutes de tension dans une alimentation ou diagnostiquer un montage. Adoptez une convention claire, vérifiez systématiquement l’équilibre « hausses = chutes » et, en cas de doute, refaites un tour de maille lentement : vous gagnez du temps et de la fiabilité.