Tout sur les fonctions trigonométriques : cos, sin et tan

Les fonctions trigonométriques sont un élément essentiel de la géométrie et des mathématiques en général. Parmi celles-ci, le sinus, le cosinus et la tangente représentent les principales relations trigonométriques. Dans cet article, nous allons voir ce qu’elles sont, à quoi elles servent et comment les appliquer dans différentes situations.

Définitions et rappels

Sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle

Le concept de ces fonctions remonte à l’Antiquité, où il a été étudié par les astronomes. Mais c’est principalement grâce à l’utilisation du triangle rectangle que leur utilisation est devenue courante. Dans un triangle rectangle, :

• le sinus (sin) d’un angle aigu (< 90°) est défini comme le rapport entre la longueur du côté qui lui fait face (opposé) et celle de l'hypoténuse.
• le cosinus (cos) d’un angle aigu est défini comme le rapport entre la longueur du côté contigu à celui-ci (adjacent) et celle de l’hypoténuse.
• la tangente (tan) d’un angle aigu est défini comme le rapport entre la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent.

Cercle trigonométrique

Dans le cercle trigonométrique, les fonctions sin et cos correspondent respectivement aux coordonnées y et x d’un point M situé sur ce cercle. La tangente correspond au rapport entre sin et cos.

Le triangle rectangle formé par l’origine du repère (O), le projeté de M sur l’axe des abscisses (P) et le point M est utilisé pour calculer ces fonctions :

• sin(θ) = OP/OM
• cos(θ) = PM/OM
• tan(θ) = OP/PM = sin(θ)/cos(θ)

Calcul des fonctions trigonométriques

Mesure des angles en degrés et en radians

L’une des premières choses à prendre en compte lorsqu’on travaille avec les fonctions trigonométriques est la mesure des angles. On peut utiliser :

• Les degrés, dont l’unité est symbolisée par °. Un tour complet autour d’un point central équivaut à 360°.
• Les radians, qui sont liés au rayon du cercle. Un tour complet équivaut à 2π radians, où π représente le nombre pi (≈ 3,14159).

Pour convertir des degrés en radians ou vice versa, on applique la relation suivante :

• 1° = π/180 radians
• 1 radian ≈ 57,3°

Fonctions trigonométriques pour des angles spécifiques

Pour certains angles particuliers, on peut calculer les fonctions sin, cos et tan sans l’aide d’outils ou de calculatrices :

• Pour 0° ou 0 radians : sin(0) = 0, cos(0) = 1 et tan(0) = 0.
• Pour 30° ou π/6 radians : sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2 et tan(30°) = √3/3.
• Pour 45° ou π/4 radians : sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2 et tan(45°) = 1.
• Pour 60° ou π/3 radians : sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2 et tan(60°) = √3.
• Pour 90° ou π/2 radians : sin(90°) = 1, cos(90°) = 0 et tan(90°) n’est pas définie (elle tend vers l’infini).

Applications des fonctions trigonométriques

Résolution de triangles rectangles

Les fonctions sin, cos et tan sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes liés aux triangles rectangles. Par exemple :

• Pour trouver la longueur d’un côté à partir d’un angle et un autre côté.
• Pour calculer la mesure d’un angle à partir des longueurs de deux côtés.

Coordonnées polaires et cartésiennes

Dans le cadre des coordonnées polaires (r, θ), les fonctions trigonométriques permettent de transformer ces coordonnées en coordonnées cartésiennes (x, y) avec les relations suivantes :

• x = r × cos(θ)
• y = r × sin(θ)

De même, on peut retrouver les coordonnées polaires à partir des coordonnées cartésiennes :

• r = √(x² + y²)
• θ = atan(y/x), où atan est la fonction arc tangente.

Ondes et oscillations

Les fonctions sin et cos apparaissent naturellement dans l’étude des phénomènes oscillatoires, tels que les vibrations, les ondes sonores ou les ondes lumineuses. Elles servent notamment à décrire l’oscillation harmonique simple d’une particule autour d’une position d’équilibre.

Par exemple, un pendule qui oscille avec une amplitude A et une fréquence angulaire ω peut être décrit par la fonction :

• x(t) = A × cos(ωt), où x(t) est la position du pendule à l’instant t.

Trigonométrie sphérique

Enfin, les fonctions trigonométriques sont également utilisées en trigonométrie sphérique, qui étudie les triangles sur la surface d’une sphère. Cette branche des mathématiques trouve de nombreuses applications, notamment dans la géodésie, l’astronomie et la navigation.