La formule du théorème de Pythagore donne une méthode directe pour calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle et pour vérifier si un triangle est rectangle. En bref : si c est la longueur de l’hypoténuse et a, b celles des deux autres côtés, alors a² + b² = c². Ci-dessous, définition claire, méthode pas à pas et exemples corrigés pour s’entraîner sans perdre de temps.
Définition et vocabulaire indispensables
Le théorème de Pythagore s’applique uniquement aux triangles rectangles, c’est‑à‑dire ceux qui possèdent un angle de 90°. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse ; c’est toujours le plus long côté du triangle. Les deux autres côtés sont parfois appelés cathètes ou simplement « côtés de l’angle droit ».
Énoncé algébrique : dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse, soit a² + b² = c². Réciproque utile : si, dans un triangle, les longueurs vérifient a² + b² = c² (avec c le plus long côté), alors le triangle est rectangle.
Formule du théorème de Pythagore : comment l’utiliser pas à pas
La méthode dépend de l’objectif : calculer un côté manquant ou vérifier qu’un triangle est rectangle. Dans les deux cas, le schéma annoté reste la meilleure première étape.
1) Calculer une longueur manquante
Objectif : trouver l’hypoténuse c ou l’un des côtés de l’angle droit a ou b.
Étapes :
- Repérer l’angle droit, identifier l’hypoténuse c.
- Écrire la formule adaptée :
- Pour l’hypoténuse : c = √(a² + b²).
- Pour un côté de l’angle droit : a = √(c² − b²) ou b = √(c² − a²).
2) Vérifier qu’un triangle est rectangle
Objectif : démontrer que le triangle est rectangle sans mesurer d’angle.
Étapes :
- Identifier le plus long côté et le noter c.
- Calculer a² + b² puis c².
- Comparer : si a² + b² = c², le triangle est rectangle (réciproque). Sinon, il ne l’est pas.
Exemples corrigés et commentés
Exemple 1 : calculer une hypoténuse
Données : triangle ABC rectangle en A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Hypoténuse : BC.
Calcul : BC = √(AB² + AC²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Commentaire : on retrouve le triplet pythagoricien classique 6‑8‑10, proportionnel au 3‑4‑5.
Exemple 2 : calculer un côté de l’angle droit
Données : triangle RST rectangle en S, RT = 13 m (hypoténuse), RS = 5 m. Chercher ST.
Calcul : ST = √(RT² − RS²) = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 m.
Astuce : si l’hypoténuse n’est pas identifiée d’emblée, choisissez le côté le plus long lorsque les mesures sont proches.
Exemple 3 : vérifier si un triangle est rectangle
Données : longueurs 7 cm, 24 cm et 25 cm. Le plus long côté vaut 25 cm.
Contrôle : 7² + 24² = 49 + 576 = 625 ; 25² = 625. Égalité vérifiée, le triangle est rectangle.
Exemple 4 : application pratique en situation réelle
Un escalier temporaire doit relier une plateforme située 1,20 m au-dessus du sol à un point au sol distant de 3,00 m. Quelle longueur minimale pour la rampe ?
Modélisation : triangle rectangle avec côtés de l’angle droit 1,20 m et 3,00 m, hypoténuse la rampe.
Calcul : c = √(1,20² + 3,00²) = √(1,44 + 9,00) = √10,44 ≈ 3,23 m. Prévoyez une marge de sécurité selon les normes du chantier.
Exemple 5 : distance dans le plan (coordonnées)
Points A(−2 ; 1) et B(3 ; 5). Différences : Δx = 5 et Δy = 4. Le segment AB est l’hypoténuse du triangle rectangle de côtés |Δx| et |Δy|.
Distance : AB = √(Δx² + Δy²) = √(5² + 4²) = √41 ≈ 6,40 unités. Le théorème de Pythagore fonde ainsi la formule de distance euclidienne.
Erreurs fréquentes et points de vigilance
Confondre l’hypoténuse et un autre côté. Rappel : l’hypoténuse est opposée à l’angle droit et c’est la plus longue longueur. Vérifiez le schéma.
Oublier la racine carrée. La formule donne d’abord des carrés de longueurs ; pour la longueur finale, on prend la racine carrée et on exprime l’unité correcte.
Mauvaise utilisation de la réciproque. Pour affirmer qu’un triangle est rectangle, il faut comparer a² + b² et c² avec c le plus long côté. Un simple « presque égal » ne suffit pas si une démonstration exacte est exigée.
Mélange d’unités. Convertir avant de calculer : par exemple, 50 cm et 0,8 m ne se combinent pas directement. Choisir m ou cm pour tous les côtés.
Quand la formule de Pythagore ne s’applique pas
Elle ne s’applique pas aux triangles quelconques dépourvus d’angle droit, ni aux quadrilatères ou autres polygones. Pour un triangle non rectangle, on recourt à la loi des cosinus. Dans l’espace (3D), on peut utiliser Pythagore en deux temps, en l’appliquant dans deux plans perpendiculaires successifs, mais jamais sur un tétraèdre arbitraire sans précaution.
Méthode express pour les contrôles
Avant de poser le calcul : tracer proprement, encercler l’angle droit, flécher l’hypoténuse, écrire la formule ciblée (c² = a² + b² ou a² = c² − b²). Remplacer par les valeurs numériques, poser le calcul des carrés, puis la racine carrée uniquement à la fin. Soigner l’arrondi et l’unité. Si une justification est demandée, mentionner explicitement « par le théorème de Pythagore » ou « par la réciproque du théorème de Pythagore ».
Triplets pythagoriciens utiles à mémoriser
Les triplets entiers accélèrent les vérifications de tête : 3‑4‑5, 5‑12‑13, 7‑24‑25, 8‑15‑17. Tout multiple commun conserve la propriété (par exemple 6‑8‑10). Ils aident à identifier rapidement l’hypoténuse et à repérer une erreur de calcul.
Exercices d’entraînement avec corrigé
Exercice A : longueur d’une diagonale
Un rectangle mesure 9 cm par 12 cm. Calculer la diagonale.
Corrigé : la diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés 9 et 12 ; d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm.
Exercice B : vérifier la rectangularité
On donne un triangle avec côtés 10 m, 26 m et 24 m. Le triangle est‑il rectangle ?
Corrigé : plus long côté c = 26. a² + b² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676 ; c² = 26² = 676. Égalité, donc le triangle est rectangle.
Exercice C : retrouver un côté inconnu
Triangle MNP rectangle en N. MP = 17 cm, MN = 15 cm. Calculer NP.
Corrigé : NP = √(MP² − MN²) = √(289 − 225) = √64 = 8 cm.
Aller plus loin : lecture de résultat et sens des aires
Le théorème a aussi une interprétation géométrique en termes d’aires : l’aire du carré sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés sur les deux autres côtés. Ce regard aide à comprendre pourquoi l’hypoténuse, côté « opposé » à l’angle droit, est nécessairement plus longue : son carré doit « couvrir » les deux autres carrés réunis.
Conseil final
Pour réussir à coup sûr : identifiez l’hypoténuse avant tout calcul, rédigez la formule adaptée, puis remplacez les valeurs et concluez par une phrase claire. En révision rapide, entraînez‑vous aux triplets pythagoriciens et aux racines carrées parfaites ; ce sont des gains de temps précieux le jour J.
Sources
Ministère de l’Éducation nationale. Édubase : À quoi sert le théorème de Pythagore ? Découvrir son utilité grâce à la questiologie : https://edubase.eduscol.education.fr/fiche/24760
CNRS. WIMS : Géométrie du plan (énoncé du théorème de Pythagore et réciproque) : https://wims.math.cnrs.fr/wims/wims.cgi/fr_U2~geometry~docgeo2D.fr.html
