Théorème des croissances comparées : limites avec logarithmes, puissances et exponentielles

Le théorème des croissances comparées classe, pour les limites, la « vitesse » des fonctions usuelles quand x devient très grand ou très petit. La règle clé tient en une ligne : logarithmes ≪ puissances ≪ exponentielles. Autrement dit, à l’infini, un logarithme est toujours négligeable devant une puissance, elle-même négligeable devant une exponentielle. Voici comment l’utiliser efficacement pour calculer des limites avec ln, x^α et e^x.

Ce que dit précisément le théorème

Pour tout α > 0 et β > 0 :

En +∞ : hiérarchie des croissances

• ln(x) = o(x^α) et, plus généralement, [ln(x)]^k = o(x^α) pour tout k > 0.
• x^α = o(e^{βx}).

Au voisinage de 0+ : le logarithme diverge lentement

• x^α ln(x) → 0, et plus largement x^α [ln(x)]^k → 0 pour tout α > 0 et k réel fixé.

En −∞ : l’exponentielle décroissante e^x « écrase » toute puissance positive de x en envoyant les produits x^α e^x vers 0.

Ces énoncés se lisent avec la notation de Landau : f = o(g) signifie f/g → 0. En pratique, il suffit de mettre au dénominateur la fonction la plus « forte » et de conclure que le quotient tend vers 0.

La méthode pas à pas pour vos limites

Face à une expression mélangeant ln, puissances et exponentielles :

1. Identifiez le terme dominant grâce à la hiérarchie logarithme ≪ puissance ≪ exponentielle.
2. Factorisez par ce terme dominant au numérateur et au dénominateur.
3. Réécrivez le quotient avec des facteurs qui tendent vers 0 : ln(x)/x^α, x^α/e^{βx}, etc.
4. Concluez immédiatement : tout facteur dominé tend à 0, donc il n’influence pas la limite finale.

Astuce fiable : si un e^{βx} avec β > 0 apparaît quand x → +∞, il dominera l’expression. S’il apparaît e^{−βx} en +∞, il tuera les puissances au dénominateur et fera souvent tendre la fonction vers 0.

Exemples entièrement résolus

1) lim_x→+∞ ln(x)/x^0,3

La puissance l’emporte sur le logarithme. On sait ln(x) = o(x^α) pour tout α > 0. Donc ln(x)/x^0,3 → 0. Limite : 0.

2) lim_x→+∞ x^5/e^{0,1x}

L’exponentielle l’emporte sur toutes les puissances. Écrivez x^5/e^{0,1x} = exp(5 ln x − 0,1x). Comme ln x croît plus lentement que x, l’exposant 5 ln x − 0,1x → −∞ et l’ensemble tend vers 0. Limite : 0.

3) lim_x→0+ x^0,2 ln(x)

Près de 0+, ln(x) → −∞ mais très lentement. Le produit x^α ln(x) tend vers 0 pour tout α > 0. Limite : 0 avec un signe négatif approché si l’on détaille l’allure.

4) lim_x→+∞ [x^3 ln(x) + 7]/e^{x}

Factorisez par e^{x} au dénominateur : le numérateur est au plus de l’ordre x^3 ln x, dominé par e^x. Donc le quotient → 0. Limite : 0.

5) lim_x→−∞ x^4 e^{x}

Quand x → −∞, e^{x} → 0 très vite. Le produit de toute puissance positive par e^{x} tend vers 0. Limite : 0.

Variantes fréquentes et pièges à éviter

Puissances fractionnaires : la règle vaut pour tout α > 0, pas seulement pour les entiers. Par exemple ln(x)/√x → 0 et x^{1/3}/e^{0,01x} → 0.

Puissances de logarithmes : [ln(x)]^k reste toujours dominé par x^α, quel que soit k réel fixé et α > 0. Ainsi [ln x]^10/x → 0.

Niveaux d’exponentielles : si vous avez e^{ax} face à e^{bx} avec a < b, alors e^{ax}/e^{bx} = e^{(a−b)x} → 0 en +∞. C’est la même logique de domination à l’intérieur de la famille exponentielle.

Changements de signe : au voisinage de 0+, ln(x) est négatif. Un produit du type x^α ln(x) tend vers 0 par valeurs négatives si α > 0, ce qui éclaire la position de l’éventuelle asymptote horizontale.

Sommes hétérogènes : dans x^3 + e^x, c’est e^x qui fixe l’allure asymptotique. On parle de terme dominant. Pour un quotient, mettez au dénominateur le terme dominant et éliminez les autres par o(·).

Techniques de preuve et d’application rapide

En terminale et en L1, deux voies classiques justifient et exploitent les croissances comparées :

• Encadrements et équivalents : par exemple, ln(x) ≤ x^ε pour tout ε > 0 et x assez grand, ce qui donne ln(x)/x^α ≤ x^{ε−α} → 0 si ε < α.
• Réécriture exponentielle : transformer une puissance ou un logarithme dans l’exponentielle, via x^α = e^{α ln x}. On compare alors des exposants, beaucoup plus simples à hiérarchiser.

Ces méthodes fournissent aussi des équivalents utiles : par exemple, quand x → +∞, on a ln(x) = o(x^α) mais pas d’équivalent simple universel pour ln(x)/x^α. En revanche, pour comparer deux exponentielles e^{ax} et e^{bx}, un équivalent immédiat est e^{(a−b)x}.

Cas limites et extensions pratiques

Quand les « forces » s’équilibrent : si l’on compare des termes de même nature, la limite dépend des coefficients. Par exemple, e^{ax}/e^{bx} = e^{(a−b)x} : limite 0 si a < b, +∞ si a > b, et 1 si a = b. De même, pour x^p/x^q = x^{p−q} : 0 si p < q, +∞ si p > q, et 1 si p = q.

Autour de 0 avec exponentielles : poser t = 1/x transforme des limites en +∞. Par exemple, lim_x→0+ x^α e^{1/x} : avec t = 1/x → +∞, on obtient e^{t}/t^{α} qui diverge, donc la limite initiale est +∞.

Suites vs fonctions : la hiérarchie reste valable pour les suites u_n = ln n, n^α, a^n : on a ln n = o(n^α) et n^α = o(a^n) si a > 1. Utile pour les séries et la comparaison d’ordres de grandeur numériques.

Mini check-list avant de conclure une limite

• Identifier la famille dominante : logarithme, puissance ou exponentielle.
• Factoriser par le terme le plus fort pour faire apparaître des quotients du type « dominé/dominant ».
• Traiter le bon bord : +∞, −∞ ou 0+, car le signe et l’allure peuvent changer.
• Si des fonctions de même famille se comparent, basculer dans l’exponentielle ou simplifier les puissances pour lire le signe de l’exposant ou de l’exposant effectif.

À retenir pour vos calculs : dès qu’une exponentielle croissante e^{βx} intervient en +∞, elle impose la limite et annule l’influence des puissances et des logarithmes. Prenez l’habitude de factoriser par le terme dominant et de jeter les autres par un argument de petit o ; vos limites tomberont en quelques lignes, nettes et justifiées.